संख्याज्ञान

                ⏳संख्या ज्ञान💟                      🔹 संख्या चा शोध कसा लागला
   ~~~~~~~~~~~~~~~~~~

      आपणास माहिती आहे मानव हा अश्मयुगाच्या आधीपासून टोळी , वसाहत करून रहात असे . त्या वेळी नक्कीच गणित संशोधन  , संख्या  , क्रिया या गोष्ट त्यास अवगत नव्हत्या . तरी तो आपल्या घरातील माणसे कसे लक्षात ठेवत असेल ? पाळीव प्राणी किती कसे लक्षात ठेवत असेल ?
       सुरवातीला माणूस हातीची बोटे मोजुन किंवा बोटे दाखवून घरातील व्यक्ती , प्राणी मोजत असतील ...☝🏻  , ✌🏻, 🖐🏻, 👐🏻
नंतर हळूहळू ...
दगड ठेवून मोजत असेल...
जसे...
  🔻  🔻🔻🔻   🔻🔻🔻🔻
   तसेच एक साठी एक रेषा - |
दोन साठी - | |  , तीन साठी  | | |
असे निसर्गाच्या सानिध्यात माणूस मोजण्याची क्रिया करत असेल व यातूनच ....
1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,.......
अशा संख्याचा उगम झाला व यालाच आपण .....

1 ]  *नैसर्गिक  किंवा  मोजसंख्या*
     ~~~~~~~~~~~~~~~~~
         1 , 2 , 3 ,4 , 5 .......

असे आपण संबोधण्यात आले.

============================
         आपण वर पाहिले नैसर्गिक किंवा मोजसंख्या चा उगग कसा झाला असेल .
      माणूस हळूहळू  समुहात रहात असताना व्यक्ती  , प्राणी सांगत असताना नैसर्गिक संख्या चा वापर करून माहिती देत असे .

     परंतु काही च नाही यासाठी काही तरी दाखवायला हवे. तुमच्या कडे काही च प्राणी , वस्तू  नाहीत तर कोणत्या चिन्ह चा वापर करावा ? काहीच नाही कसे दाखवावे ही समस्या निर्माण झाली .
     आपणास माहिती आहेत . समस्या / गरज ही शोधाची जणनी आहे . त्यातुनच काहीच नाही यासाठी ....
वेगवेगळ्या ठिकाणी अनेक चिन्ह वापरण्यात येवू लागली .
पोकळ गोल   - सुद्धा अनेक वेळा
~~~~~~~~
काही च नाही साठी वापरण्यात येवू लागले .
       यातुनच शून्य चा शोध लागला .
शून्य (  0 )  शोध लागला व ते 1 च्या आधी लिहला जावू लागला .व संख्या पुर्ण झाल्या असे वाटले म्हणून दुसरा संख्या संच पुर्ण संख्या संच म्हणून ओळखला जावू लागला .

2]  *पूर्णसंख्या संच*  -
   ~~~~~~~~~~~
        0 , 1 , 2 , 3 , 4 , .......

============================

दुसरा संख्या संच 0 वाढवुन पूर्णसंख्या संच झाला . परंतु याच काळात संख्या वरील क्रिया ही उदयास आल्या .

     बेरीज , करणे वजा करणे या क्रिया करत असता....
पुढीलप्रमाणे  समस्या निर्माण झाल्या असाव्यात...

   3 मधुन 7 गेले  =  ??
   6 - 8  =  ??

वरील प्रश्न चे उत्तर आपण आता सहज देवू शकतो परंतु त्या वेळी चा विचार करा फक्त आपणास पूर्णसंख्या संच माहिती होता.

यातुनच रून संख्या उदयास आल्या  व संख्या संच वाढुन पुर्णांक संख्या संच निर्माण झाला .

3 ] पुर्णांक संख्या संच -
     ~~~~~~~~~~~
....-3 , -2 , -1 , 0 ,  1 , 2 , 3 , 4 ,...

या संख्या संचास पुर्णांक संख्या संच म्हणून उदयास आला  .

===========================

    यानंतर अपूर्ण संख्या लेखनाची समस्या निर्माण झाली व परिमेय संख्या चा शोध लागला...

4  ]  *परिमेय संख्या*  -
      ~~~~~~~~~
सर्वच पुर्णांक संख्या  + रून धन अपूर्णांक .

व्याख्या  - p/q स्वरूपातील कोणत्याही संख्या फक्त q हे शून्य नसावे.

===========================

5]  *अपरिमेय संख्या*  -
     थोडक्यात पुर्ण नसणाऱ्या संख्या ची वर्गमुळे म्हणजे अपरिमेय संख्या होय.
उदा -  √13 , √75 इत्यादी

===========================
6 ]  *वास्तव्य संख्या*  -
    ~~~~~~~~~~~
      -  परिमेय व अपरिमेय  दोन्ही संख्या संच मिळून वास्तव संख्या संच होय.

===========================
7]   *अवास्तव संख्या*  -
     ~~~~~~~~~~~
        सर्वच रून संख्या ची वर्गमुळ म्हणजे अवास्तव संख्या होय .

उदाहरणार्थ  -  √-9 , √-25 , √-10

============================
            ✍🏻  *सारांश* ....✍🏻

⏹⏹⏹ संख्या चे प्रकार   ⏹⏹⏹

⏺  *नैसर्गिक संख्या / मोज संख्या*
   -  { 1 , 2 , 3 ,4.....}

⏺  *पुर्ण संख्या*
   -  {  0 , 1 , 2 , 3 ......}

⏺  *पुर्णांक संख्या*
    -  { ....-3 , -2 , -1 , 0 , 1 ,2, 3...}

 ⏺  *परिमेय संख्या*
    -  {  p/q  कोणत्याही पुर्णांक संख्या परंतु  q हे शून्य नसावे
   उदाहरणार्थ - 4/5 , 2/7  }
 
 ⏺ *अपरिमेय संख्या*
    -  {  पुर्ण वर्ग नसणाऱ्या संख्या ची वर्गमुळ म्हणजे अपरिमेय संख्या होय.
    उदा  - √12 , √51 इत्यादी }


⏺  *वास्तव्य संख्या*
  -  {  परिमेय व अपरिमेय संख्या एकञित संच म्हणजे वास्तव संख्या होय }

⏺  *अवास्तव संख्या*
   -  {  सर्वच रून संख्या चे वर्ग मुळ  म्हणजे अवास्तव संख्या होय  .
  उदाहरणार्थ   √-6 , √ -10 √ - 25  }
 
==================
 ज्या संख्येच्या एकक़स्थानी 0,2,4,6,8 7यापैकी एक अंक असतो तिला सम संख्या म्हणतात
उदा .  12 ,126, 68 , 62 800

 0,2,4,6,8 असेल तर सम संख्या असू शकते,


2) ज्या संख्येच्या एककस्थानी 1,3,5,7,9 यापैकी एक अंक असतो.तिला विषम संख्या म्हणतात. उदा. 11,13,15........99.....


 5) ज्या दोन मूळ संख्याच्या दरम्यान एक संयुक्त संख्या असते अशा संख्याना जोडमूळ संख्या म्हणतात
उदा 3व 5 , 5 व 7 , 11 व 13
1 ते 100 पर्यंत अशा जोडमुळ संख्याच्या 8 जोड्या आहेत .

5) ज्या दोन क्रमवार मूळ संख्यांमधे दोनचा फरक आहे अशा संख्याना जोडमूळ संख्या म्हणतात
उदा 3 व 5 , 5 व 7 , 11 व 13
1 ते 100 पर्यंत अशा जोडमुळ संख्याच्या 8 जोड्या आहेत .

2 ही सर्वात लहान सम मूळ संख्या आहे.


ज्या दोन संख्यांचा फक्त 1 ही संख्या सामायिक विभाजक असते त्या संख्यांना परस्परांच्या सहमूळ किंवा परस्पर मूळ संख्या म्हणतात
उदा. 4 व5
       3व17


 1 ते 100 दरम्यान 74 *संयुक्त संख्या* आहेत..

 १ ते १०० मध्ये मुळ संख्या  २५ संयुक्त संख्या  ७४  व १ ही मुळ,व संयुक्त नाही


 सहमुळ संख्या - जर दोन संख्याचा म. सा. वि.=1 असेल तर त्यांना सहमुळ संख्या म्हणतात.
उदाहरण. 11व12
म.सा.वि.=1

सहमूळ संख्या -ज्या दोन किंवा अधिक संख्याना 1व्यतिरिक्त अन्य सामाईक विभाजक नसतो त्या संख्याना सहमूळ संख्या म्हणतात      उदा.25व28, 12व35


: मूळ संख्या- 1ते 10-2,3,5,7             11ते20-           11,13,17,19                   21ते30-            23,29                                 31ते40-            31,37                                41ते50-            41,43,47                           51ते60-            53, 59                             61ते70-            61,67                   71ते80-            71,73,79            81ते90-            83,89                91ते100-          97
 🔹🔸🔹🔸🔹🔸🔹🔸🔹🔸🔹

📈  संख्या  प्रकार

1)  सम संख्या -

    -  ज्या संख्येच्या एकक़स्थानी 0,2,4,6,8 7यापैकी एक अंक असतो तिला सम संख्या म्हणतात
उदा .  12 ,126, 68 , 62 800

2) विषम संख्या -  

 -   ज्या संख्येच्या एककस्थानी 1,3,5,7,9 यापैकी एक अंक असतो.तिला विषम संख्या म्हणतात. उदा. 11,13,15........99.....

3) संयुक्त संख्या -

1 ते 100 दरम्यान 74 *संयुक्त संख्या* आहेत..


4) मुळ संख्या   -

मूळसंख्या-ज्या संख्येचे 1व तीच संख्या असे दोनच विभाजक असतात त्या संख्येला मूळ संख्या म्हणतात      उदा.2,3,5,7,11,...

2 ही सर्वात लहान सम मूळ संख्या आहे. -

5)  जोडमुळ संख्या   -

-   ज्या दोन मूळ संख्याच्या दरम्यान एक संयुक्त संख्या असते अशा संख्याना जोडमूळ संख्या म्हणतात
उदा 3व 5 , 5 व 7 , 11 व 13
1 ते 100 पर्यंत अशा जोडमुळ संख्याच्या 8 जोड्या आहेत .

6)  सहमुळ  संख्या

ज्या दोन संख्यांचा फक्त 1 ही संख्या सामायिक विभाजक असते त्या संख्यांना परस्परांच्या सहमूळ किंवा परस्पर मूळ संख्या म्हणतात
उदा. 4 व5
       3व17


सहमुळ संख्या - जर दोन संख्याचा म. सा. वि.=1 असेल तर त्यांना सहमुळ संख्या म्हणतात.
उदाहरण. 11व12
म.सा.वि.=1


7) *ञिकोणी संख्या*

क्रमवार संख्यांच्या गुणाकाराच्या निमपटीस त्रिकोणी संख्या म्हणतात
1=1×2÷2
3=2×3÷2
6=3×4÷2

8)  *वर्ग संख्या / चौरस संख्या*

      -  वर्ग संख्या नाच चौरस संख्या असे म्हणतात
उदाहरणार्थ  -  4 , 16 , 25 , 36 ,49

9) *परीपुर्ण संख्या*   -

 परिपूर्ण संख्या--ती संख्या सोडून तिच्या अवयवांची बेरीज त्या संख्येएवढी असते. उदा. 6,  28, 496

10)  *धन संख्या  व रून संख्या*
     -

   -  संख्या रेषावरील शून्य च्या उजवीकडे धन संख्या व डावीकडे रून संख्या असतात


🔸🔹🔸🔹🔸🔹🔸🔹🔸🔹🔸
 9) परिपूर्ण संख्या--ती संख्या सोडून तिच्या अवयवांची बेरीज त्या संख्येएवढी असते. उदा. 6,  28, 496

6---1,2,3     1+2+3=6                 28----1,2,4,7,14      1+2+4+7+14=28 (परिपूर्ण संख्या-6 एकमेव एक अंकी, 28एकमेव दोन अंकी, 496-एकमेव तीन अंकी)

1) पूर्ण वर्ग संख्येच्या एककस्थानी *2,3,7,8*
हे अंक कधीच नसतात..

2) पूर्ण वर्ग संख्येच्या एककस्थानी *5*  हा  अंक असेल तर दशकस्थानी *2* हा अंक असतोच..



1 , 3 , 6 , 10 ,15 ,21 ,.....

या ञिकोणी संख्या होय.....

ञिकोणी का म्हणतात ....

✍🏻   1            •



✍🏻   3              •
                    •       •


✍🏻  6                 •
                     •          •
                 •        •        •  


✍🏻   10               •
                      •          •
                  •        •         •
              •       •         •       •  


या संख्या इतके ञिकोणात बिंदू रचना करता येते म्हणून यांना ञिकोणी संख्या असे म्हणतात .



 सर्वच वर्ग संख्या म्हणजे चौरस संख्या होय
=======================
      🔰  ञिकोणी संख्या 🔰


व्याख्या -  " दोन क्रमवार संख्या चा गुणाकार करून गुणाकाराची निम्मी संख्या म्हणजे ञिकोणी संख्या होय "


उदाहरणार्थ -

    क्रमवार संख्या  - 5 , 6

                            5 × 6
ञिकोणी संख्या  = ----------- = 15
                               2

वरील उदाहरणात  15 ही ञिकोणी संख्या आहे.


तर  5  व 6 यांना ञिकोणी संख्या चा पाया असे म्हणतात .

  =========================                            

👉 पहिली ञिकोणी संख्या

   = 1 × 2 / 2  = 1


👉 दुसरी ञिकोणी संख्या

    = 2 × 3 / 2  = 3


👉 तिसरी ञिकोणी संख्या

     = 3 × 4 / 2  = 6


👉 चौथी ञिकोणी संख्या

     =  4 × 5 / 2  = 10


👉 पाचवी ञिकोणी संख्या

    = 5 × 6 / 2  = 15


 👉 सहावी ञिकोणी संख्या

   = 6 × 7 / 2  = 21


अशाप्रकारे पुढील ञिकोणी संख्या शोधता येतील...

   

   28 ,  36  , 45  , 55 , 66 , 78 , 91 , 105 , 120, 136 ,......


अशा अनेक संख्या आपण शोधू शकतो.

=======================


🔷🔷 TET - 16/1/2016🔷🔷

काल झालेल्या परीक्षेत पहिलाच प्रश्न होता...

👉   6 ,  36  , 66 आणि 136 या कोणत्या प्रकारच्या संख्या आहेत ?


पर्याय   -

(1) चौरस संख्या

(2) आयत संख्या

(3) पंचकोणी संख्या

(4) ञिकोणी संख्या  ✅✅



🔷🔷🔷🔷🔷🔷🔷🔷🔷

नेहमी विचारले जाणारे उदाहरण -

👉   एक ञिकोणी संख्या देतात व त्याच्या पुढील चौथी , पाचवी अशी संख्या कोणती असा प्रश्न विचारला जातो ?


उदाहरणार्थ -

  55 च्या पुढील 5 वी ञिकोणी संख्या कोणती  ?


स्पष्टीकरण  -

 दिलेली ञिकोणी संख्या  = 55


या संख्येच्या दुप्पट करा = 55 × 2

                                 = 110


आता 110 हा कोणत्या दोन क्रमवार संख्या चा गुणाकार आहे शोधा....

आपणास समजेल ...

  10 × 11 =  110 येते.


10  + 5 =  15 .....


म्हणून , 110 नंतर 5 वी ञिकोणी संख्या

            15 × 16
      =  --------------  = 120
                 2


म्हणून ,  उत्तर   -  120


=======================ररचनावादी पध्दत _ एक खडा घ्या त्या भोवती चौरस काढा असे एक - एक खडा मिळवा व  चौरस बनवण्याचा प्रयत्न करा जर चौरस झाला तर किती खडयांपासून झाला याचा पडताळा घेतला असता वर्ग संख्या इतक्याच खडयांपासून चौरस होतोय हे समजेल म्हणून वर्गसंख्यांना चौरस संख्या म्हणतात
@@

 दिलेल्या संख्येच्या दुप्पट मधून वजा होणारी मोठ्यात  मोठी पूर्ण वर्ग संख्या शोधून काढा त्या संख्येचे वर्गमुल म्हणजे त्रिकोणी संख्येचा पाया आहे.....  यावरून         पाया xपुडील संख्या /2 करा त्रिकोणी संख्या मिळेल... नाहीतर त्रिकोणी संख्या नाही 🙏🙏